Ta có \(\sqrt{8a^2+56}=\sqrt{8\left(a^2+7\right)}=2\sqrt{2\left(a^2+ab+2bc+2ca\right)}\)

\(=2\sqrt{2\left(a+b\right)\left(a+2c\right)}\le2\left(a+b\right)+\left(a+2c\right)=3a+2b+2c\)

Tương tự \(\sqrt{8b^2+56}\le2a+3b+2c;\)\(\sqrt{4c^2+7}=\sqrt{\left(a+2c\right)\left(b+2c\right)}\le\frac{a+b+4c}{2}\)

Do vậy \(Q\ge\frac{11a+11b+12c}{3a+2b+2c+2a+3b+2c+\frac{a+b+4c}{2}}=2\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(\left(a,b,c\right)=\left(1;1;\frac{3}{2}\right)\)

a) \(P=1957\)

b) \(S=19.\)

Vì x + y = 2 và x, y nguyên dương nên \(x=y=1\)

Khi đó A = 4.

Vậy A_min = 4

+ \(\left(a-b\right)^2\ge0\forall a,b\)

\(\Rightarrow a^2+b^2\ge2ab\forall a,b\)

Dấu "=" <=> a=b.

Do đó : \(\left\{{}\begin{matrix}1+\dfrac{x^2}{y^2}\ge\dfrac{2x}{y}\forall x,y\\1+\dfrac{y^2}{x^2}\ge\dfrac{2y}{x}\forall x,y\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow A\ge\dfrac{2x}{y}\cdot\dfrac{2y}{x}=4\forall x,y\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\dfrac{x}{y}=\dfrac{y}{x}=1\)\(\Leftrightarrow x=y=1\)( do a + b = 2 )

Vậy Min A = 4 <=> x = y = 1

Bài 4: Áp dụng bất đẳng thức AM - GM, ta có: \(P=\text{​​}\Sigma_{cyc}a\sqrt{b^3+1}=\Sigma_{cyc}a\sqrt{\left(b+1\right)\left(b^2-b+1\right)}\le\Sigma_{cyc}a.\frac{\left(b+1\right)+\left(b^2-b+1\right)}{2}=\Sigma_{cyc}\frac{ab^2+2a}{2}=\frac{1}{2}\left(ab^2+bc^2+ca^2\right)+3\)Giả sử b là số nằm giữa a và c thì \(\left(b-a\right)\left(b-c\right)\le0\Rightarrow b^2+ac\le ab+bc\)\(\Leftrightarrow ab^2+bc^2+ca^2\le a^2b+abc+bc^2\le a^2b+2abc+bc^2=b\left(a+c\right)^2=b\left(3-b\right)^2\)

Ta sẽ chứng minh: \(b\left(3-b\right)^2\le4\)(*)

Thật vậy: (*)\(\Leftrightarrow\left(b-4\right)\left(b-1\right)^2\le0\)(đúng với mọi \(b\in[0;3]\))

Từ đó suy ra \(\frac{1}{2}\left(ab^2+bc^2+ca^2\right)+3\le\frac{1}{2}.4+3=5\)

Đẳng thức xảy ra khi a = 2; b = 1; c = 0 và các hoán vị

Bài 1: Đặt \(a=xc,b=yc\left(x,y>0\right)\)thì điều kiện giả thiết trở thành \(\left(x+1\right)\left(y+1\right)=4\)

Khi đó  \(P=\frac{x}{y+3}+\frac{y}{x+3}+\frac{xy}{x+y}=\frac{x^2+y^2+3\left(x+y\right)}{xy+3\left(x+y\right)+9}+\frac{xy}{x+y}\)\(=\frac{\left(x+y\right)^2+3\left(x+y\right)-2xy}{xy+3\left(x+y\right)+9}+\frac{xy}{x+y}\)

Có: \(\left(x+1\right)\left(y+1\right)=4\Rightarrow xy=3-\left(x+y\right)\)

Đặt \(t=x+y\left(0< t< 3\right)\Rightarrow xy=3-t\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}=\frac{t^2}{4}\Rightarrow t\ge2\)(do t > 0)

Lúc đó \(P=\frac{t^2+3t-2\left(3-t\right)}{3-t+3t+9}+\frac{3-t}{t}=\frac{t}{2}+\frac{3}{t}-\frac{3}{2}\ge2\sqrt{\frac{t}{2}.\frac{3}{t}}-\frac{3}{2}=\sqrt{6}-\frac{3}{2}\)với \(2\le t< 3\)

Vậy \(MinP=\sqrt{6}-\frac{3}{2}\)đạt được khi \(t=\sqrt{6}\)hay (x; y) là nghiệm của hệ \(\hept{\begin{cases}x+y=\sqrt{6}\\xy=3-\sqrt{6}\end{cases}}\)

Ta lại có \(P=\frac{t^2-3t+6}{2t}=\frac{\left(t-2\right)\left(t-3\right)}{2t}+1\le1\)(do \(2\le t< 3\))

Vậy \(MaxP=1\)đạt được khi t = 2 hay x = y = 1

3. Áp dụng cô si ta có 

\(\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{c^2}{a}\ge a+b+c=1\)

Lại có:

 \(3\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge\left(a+b+c\right)^2=1\)

⇒ P ≥ \(2020.1+1=2021\)

Vậy Pmin = 2021 khi và chỉ khi a = b = c =1/3

Câu 1:

\(\sqrt{a}+\sqrt{b}=1\Leftrightarrow a+b+2\sqrt{ab}=1\Leftrightarrow a+b=1-2\sqrt{ab}\)

BĐT cần chứng minh tương đương:

\(ab\left(1-2\sqrt{ab}\right)^2\le\frac{1}{64}\Leftrightarrow\sqrt{ab}\left(1-2\sqrt{ab}\right)\le\frac{1}{8}\)

Áp dụng BĐT \(xy\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}\) ta có:

\(\frac{1}{2}.2\sqrt{ab}\left(1-2\sqrt{ab}\right)\le\frac{1}{2}\frac{\left(2\sqrt{ab}+1-2\sqrt{ab}\right)^2}{4}=\frac{1}{8}\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi \(2\sqrt{ab}=1-2\sqrt{ab}\Rightarrow ab=\frac{1}{16}\Rightarrow a=b=\frac{1}{4}\)

Câu 2:

Ta có: \(xy\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}=1\)

\(Q=\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)+\left(x+y\right)^2-2xy\)

\(Q=2\left[\left(x+y\right)^2-3xy\right]+4-2xy\)

\(Q=2\left(4-3xy\right)+4-2xy\)

\(Q=12-8xy\ge12-8=4\)

\(\Rightarrow Q_{min}=4\) khi \(x=y=1\)

Bài 1 :

Từ \(\left(x+1\right)\left(y+1\right)=4xy\)

\(\Rightarrow\frac{x+1}{x}.\frac{y+1}{y}=4\Leftrightarrow\left(1+\frac{1}{x}\right)\left(1+\frac{1}{y}\right)=4\)

Đặt \(a=\frac{1}{x};b=\frac{1}{y}\), ta có :

\(\left(1+a\right)\left(1+b\right)=4\Leftrightarrow3=a+b+ab\Leftrightarrow\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2+2\sqrt{ab}+ab\ge2\sqrt{ab}+ab\)

Từ đó \(ab\le1\)

Áp dụng AM - GM cho 2 số thực dương ta có :
\(\frac{1}{\sqrt{3x^2+1}}=\frac{\frac{1}{x}}{\sqrt{3+\frac{1}{x^2}}}=\frac{a}{\sqrt{a+b+ab+a^2}}=\frac{a}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+1\right)}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{a}{a+b}+\frac{a}{a+1}\right)\)

Tương tự ta có :

\(\frac{1}{\sqrt{3y^2+1}}\le\frac{1}{2}.\left(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+1}\right)\)

Bài 1 :

Vì \(\frac{2}{b}=\frac{1}{a}+\frac{1}{c}\) nên \(b=\frac{2ac}{a+c}\)

Do đó : \(\frac{a+b}{2a-b}=\frac{a+\frac{2ac}{a+c}}{2a-\frac{2ac}{a+c}}=\frac{c^2+3ac}{2a^2}=\frac{a+3c}{2a}\)

Và : \(\frac{c+b}{2c-b}=\frac{c+\frac{2ac}{a+c}}{2c-\frac{2ac}{a+c}}=\frac{c^2+3ac}{2c^2}=\frac{c+3a}{2c}\)

Suy ra \(P=\frac{a+b}{2a-b}+\frac{c+b}{2c-b}=\frac{a+3c}{2a}+\frac{c+3a}{2c}=\frac{ac+3c^2+ac+3a^2}{2ac}\)

\(=\frac{3\left(a^2+c^2\right)+2ac}{2ac}\ge\frac{3.2ac+2ac}{2ac}=\frac{8ac}{2ac}=4\)

Vậy \(P\ge4\) với mọi a,b,c thỏa mãn đề bài. Dấu bằng xảy ra khi a=b=c

Vậy GTNN của P là 4 khi a=b=c

Chúc bạn học tốt !!

Mình nhầm tí nhé bạn dổi bài 1 thành bài 2 nhé ạ sorry bạn nhìu